terça-feira, 8 de dezembro de 2009

Multiplicação de números inteiros negativos: Um modelo matemático através da produção de brinquedos de miriti.


Bruno Amaral – UEPA – brunoamrl@hotmail.com
Graduando em licenciatura em matemática pela universidade do Estado do Pará
Carlos Henrique Luz – UEPA – ultraxerox@hotmail.com
Graduando em licenciatura em matemática pela universidade do Estado do Pará
Sheila Cristina Nascimento Brasil – UEPA – sheylacrys@yahoo.com.br
Graduanda em licenciatura em matemática pela universidade do Estado do Pará

Resumo: O presente artigo refere-se à uma proposta para o ensino de multiplicação de números negativos utilizando a modelagem matemática como metodologia de ensino. Para isso fez-se necessário, primeiramente, realizar um breve comentário acerca da Educação, destacando os problemas que os alunos possuem com este tópico no estudo da matemática e sobre o uso da modelagem no ensino. A proposta divide-se em duas etapas- apresentar aos alunos de ensino fundamental como é realizada a produção de brinquedos de miriti no estado do Pará, destacando sua importância cultural e econômica- e a partir daí criar um modelo matemático. Nesta perspectiva, buscamos contribui à aprendizagem do conteúdo em questão, dando significado ao resultado positivo obtido após a multiplicação de dois números negativos.
Palavras Chaves: Multiplicação, Números inteiros negativos, Modelagem matemática, Brinquedos de miriti.

Educação Matemática e o Estudo da multiplicação de Números Inteiros Negativos
O primeiro contato com a multiplicação envolvendo números negativos é, segundo Rama (2005), um momento matemático delicado na aprendizagem do aluno, já que é apresentado a este uma regra de sinais sem uma argumentação antecipada, de modo que não é tarefa fácil atribuir significado a expressões matemática do tipo (-2) x (-5) = + 10. Nesse sentido é necessário considerar o aluno como um indivíduo procurando realizar suas aspirações e inquietudes, de modo a considerar tais aspirações no processo ensino aprendizagem, como bem destaca D’Ambrosio (1996) a educação é resultado de variáveis de direções amplas, dentre elas a sociedade e as expectativas da sociedade em relação ao aluno, de modo que podemos inferir que para D’Ambrosio (1996), o processo educativo ultrapassa meros conhecimentos prontos, pois ele é uma estratégia de estimulo ao desenvolvimento intelectual do aluno.
Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais – PCN’s – de 1998, o aluno deve “saber utilizar as diferentes fontes de informações e recursos tecnológicos para adquirir e construir conhecimentos.” (p. 10). Neste contexto o professor apresenta um papel muito importante já que é ele que deve orientar o aluno dentro de um aprendizado significativo, disponibilizando maneiras e ferramentas para que cada um dentro de suas limitações utilize seus conhecimentos intuitivos e os amadureça matematicamente construindo assim uma visão crítica e investigativa da sociedade. Nesse sentido, destacaremos a modelagem matemática como uma estratégia pedagógica no ensino de multiplicação de números inteiros negativos.

O uso da Modelagem no ensino da Matemática
A modelagem Matemática é um procedimento que possibilita a criatividade do aluno e sua interação com os conceitos matemáticos mediante situações da realidade (SILVA, 2009, p. 44). Dessa forma, o aluno participa de modo ativo da aprendizagem, observando uma situação real e a parti dela, investigando, indagando e explorando o conhecimento matemático que pode resultar de tal situação.
Segundo SILVA (2009), através da modelagem matemática obtemos condições para confrontar uma situação real e um problema, de modo a transformar esse problema em um problema matemático e assim criar um modelo matemático. De acordo com Kfouri(2008)”... a proposta é a melhoria da qualidade do ensino da matemática usando a estratégia da modelagem, justamente por acreditar na potencialidade pedagógica da aplicação da modelagem no ensino da matemática”(p.61) assim, acreditamos que esta estratégia matemática contribuirá significativamente no ensino do conteúdo em questão já que retirará a abstração presente na regra de sinais proposta neste estudo, além de levar os alunos a explorar e compreender o papel sócio-cultural da matemática.

A proposta de ensino
A modelagem matemática proposta é retirada da produção de brinquedos de miriti por artesões paraenses, já o método normalmente proposto nas escolas é aquele baseado na utilização da regra de sinais, sem atribuir significados a tais regras.
A proposta é dividida em duas etapas. A primeira etapa consiste em apresentar a situação aos alunos de modo que eles reconheçam o que pode ser retirado do que está sendo apresentado, a produção de brinquedos de miriti no estado do Pará - e a partir daí cria um modelo matemático.
A segunda etapa consiste em manipular matematicamente o modelo encontrado e logo em seguida formalizar a regra de multiplicação de dois números inteiros negativos.

A produção de brinquedos de Miriti no Estado do Pará
Inicialmente é proposta a identificação da situação-problema, para que haja a familiarização com o assunto a ser modelado:
“A confecção dos brinquedos começa com a coleta dos talos (braços) da palmeira no meio do mato, em locais onde só se chega de barco. Geralmente, o Miriti escolhido é jovem e da planta se colhe apenas os braços onde estão as folhagens. Com isto, a confecção dos brinquedos não é uma atividade predatória, uma vez que a árvore é mantida viva e crescendo normalmente. A consciência de que preservar é preciso é transmitida entre as gerações: dos pais para os filhos, dos filhos para os netos, com o artesão retirando da natureza somente o que precisa” (Alencar e Lopes,2004, p.3)
“Em Abaetetuba, Pará, o miriti é especialmente relevante na confecção de brinquedos que, tradicionalmente preenchem e colorem as ruas de Belém na época do Círio de Nazaré, a maior festa religiosa do território nacional". (CARVALHO, 2002. pg. 13)

O brinquedo de Miriti e o Modelo Matemático
Após a apresentação da situação deve-se fazer a matematização com a formulação do problema:
Considerando que para a confecção de um brinquedo de miriti, de Medidas: 4 x 31 x 8 cm, o artesão possui um custo de 4 reais. Se este artesão produz 1 brinquedo ele gastou 4 reais, se produziu 2 gastou 8 reais, se produziu 3 gastou 12 reais, se não produziu nenhum não gastou nada (vamos desprezar aqui o lucro, e considerar para efeito de cálculo o preço de custo de cada brinquedo), de modo que se ele vendeu 1 ele terá menos 1 do que produziu, ganhando os 4 reais que gastou. Assim temos:
(-4) x 3=-12→ gastou 4 reais (-4) e produziu 3 brinquedos(+3), logo gastou 12 reais(-12)

(-4) x 2 = -8

(-4) x 1 = -4

(-4) x 0 = 0

(-4) x (-1) = 4 → gastou 4 reais (-4) e vendeu 1 brinquedo (-1), logo ganhou  4 reais (+4)

(-4) x (-2) = 8

(-4) x (-3) = 12
Sabemos que nas representações feitas acima os elementos que são identificados não se encontram em um mesmo conjunto, pois representam elementos distintos, gastar/ganhar e vender/produzir, no entanto acreditamos que essa situação permite ao aluno um significado para a multiplicação de números negativos e que mesmo não sendo formalmente válida a operação descrita possibilita ao aluno perceber em um fato real que na multiplicação de dois números negativos é gerado um número positivo.
Analisando os resultados encontrados percebemos que um artesão que gastou 4 reais, ao vender um brinquedo de miriti ele ganha 4 reais, da mesma forma quando vende 2 , ganha 8 e assim sucessivamente, de modo que podemos deixar que o aluno conclua que na multiplicação de dois valores negativos encontramos um valor positivo.

Pressuposto
Desse modo a atividade proposta pode ser utilizada como forma de facilitar o processo de ensino-aprendizagem do assunto abordado, já que possibilita a visualização de uma regra matemática, além de destacar aspectos típicos de uma região. Pois, ultrapassa a abstração do conteúdo proposto dando significado ao resultado positivo obtido após a multiplicação de dois números negativos, além de proporcionar ao aluno um papel investigativo que pode ser muito explorado pelo professor através de tal atividade.

Referências
ALENCAR, José Ricardo da Silva; LOPES, Jose Luiz Magalhães. Elementos físicos e culturais do brinquedo e do miriti. Artigo apresentado no IX encontro nacional de pesquisa em ensino de física, 2004.

BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais. Matemática - Ensino fundamental. Brasília:1998, p.23.

CARVALHO, Luciana Gonçalves de, e LIMA, Ricardo Gomes. O Brinquedo que vem do Norte. Rio de Janeiro: FUNARTE/CNFCP, 2002

D’AMBRÓSIO, Ubiratan. Educação Matemática da Teoria à Prática. Campinas: Papirus, 1996.

RAMA, José Aguinaldo. Números Inteiros nos Ensinos Fundamental e Médio. Tese de mestrado. PUC, São Paulo. 2005.

SILVA, Marcelo Navarro da. Modelagem Matemática na formação continuada: Análise das Concepções de professores em um curso de especialização. Tese de Mestrado. PUC, São Paulo. 2009


http://www.projetobira.com/brinquedos-de-miriti/ Acessado. 5 de dezembro de 2009

http://www.flickr.com/photos/brenopeck/51216162/ Acessado. 5 de dezembro de 2009

KFOURI, William. Explorar e Investigar para aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática. Tese de Mestrado. PUC, São Paulo. 2008









 Slides Relacionados









Os três dois

Qual é o maior número de três algarismos que podemos escrever usando apenas o algarismo 2? será a potência (2²)²?
Podemos combinar os três 2 de quatro modos diferentes:

222

22² = 22 . 22 = 484

2²² = 4 194 304

(2²)² = 2² . ² = 16

Em matemática, precisamos sempre tomar cuidado para não tirar conclusões precipitadas.
O maior número não é a potência (2²)²  e sim 2²².





segunda-feira, 7 de dezembro de 2009

Irmandade Pitagórica

Pitágoras nasceu cerca de 570 anos antes de Cristo, em Samos, uma ilha do mar Egeu. Viajou por vários países, acumulando grande quantidade de conhecimento até voltar para sua terra onde pretendia fundar uma escola filosófica. No entanto, problemas com o tirano local fez com fugisse para a cidade graga de Crotona, no sul da Itália, onde finalmente fundou uma sociedade que ficou conhecida como a "irmandade Pitagórica". Os pitagóricos eram fascinados pelas propriedades dos números inteiros e descobriram inúmeras dessas propriedades.



O maior feito da escola de Pitágoras foi a descoberta do famoso "teorema de Pitágoras", que todo estudante de segundo grau conhece bem e que diz que o quadrado da hipotenusa de um triângulo retângulo é a soma dos quadrados dos catetos.

Segundo Cajori (2007) a escola de Pitágoras era mais que academia de estudo era uma irmandade onde seus membros eram proibidos de divulgar suas descobertas, nesse sentido Cajori (2007) aponta a morte no mar de um dos pitagóricos que revelou a teoria dos irracionais.

Devemos imaginar que os pitagóricos viram nos irracionais um profundo mistério, símbolo pelo qual não existem palavras? (...) A descoberta dos irracionais é tida como de Pitágoras, mas devemos lembrar que todas as descobertas importante dos pitagóricos eram, de acordo com o costume da irmandade, atribuídas a ele.(CAJORI, 2007, p.94)

 
Essa descoberta causou profundo desconforto na irmandade pois mostrou que existem números que não podem ser medidos por valores inteiros ou suas frações. São os números irracionais. Essa constatação abalou a crença dos pitagóricos de que toda medida poderia ser relacionada por inteiros mas resultou, nas mãos de outros matemáticos como Arquimedes, por exemplo, em enorme avanço na aritmética e na geometria.

Diz a lenda, provavelmente exagerada, que os pitagóricos ficaram tão perturbados com os números irracionais que decidiram sacrificar o membro da irmandade que descobriu a existência desses números.

O irracional Pi



3,14159265358979323846.


Este é apenas o início de um número muito especial com uma infinidade de casas decimais: o número pi - a razão entre o perímetro de um círculo e o seu diâmetro.

No dia 14 de Março (data que nos EUA se escreve 3/14), celebra-se em todo o mundo o Dia do p (3,14.). Esta celebração tem como objectivo promover junto do público em geral o gosto pela matemática, aproveitando o interesse que o p tem suscitado ao longo dos tempos em todas as culturas.




O ano de 2006 é muito especial, porque marca o 300º aniversário da aplicação da letra grega p para designar este número, utilizada pela primeira vez em 1706 na publicação “Synopsis Palmariorium Mathesios” de William Jones.

domingo, 6 de dezembro de 2009

Ábaco Chines

O ábaco chinês é composto por três ripas de madeira dispostas em paralelo, unidas por cilindros de metal ou madeira, espaçados e paralelos, por onde deslizam esferas, chamadas de contas.


Ábaco, na verdade, é qualquer instrumento de manipulação que ajude a fazer cálculos (cartazes de pregas, contador, cartaz de valor-lugar, soroban, etc.).

Se nos remetermos à pré-história, no período neolítico, quando o homem passou pelo processo de sedentarização, surgiu a idéia de criar animais para o consumo. Uma das primeiras dificuldades foi saber quantos animais uma família ou aldeia possuía.

A solução era relacionar de forma biunívoca animais e pedrinhas, isto é, para duas cabras, colecionavam-se duas pedrinhas.
Com um tempo, o homem começou a contar outros objetos, cujas quantidades tornavam-se inviáveis de representar biunivocamente com pedrinhas. Assim, agrupar quantidades iguais e representá-las com outros objetos foi a saída.

Por exemplo, os egípcios costumavam formar grupos de cinco pedrinhas e substituir estas cinco por um graveto. Dessa forma, 2 gravetos e 3 pedrinhas correspondiam ao 13.

Povos diferentes, formavam esses grupos de maneiras diferentes – o que chamamos na matemática de bases numéricas.

Na idade antiga, a escrita facilitou muito o processo de representação de quantidades. O ser humano pela primeira vez utilizou símbolos gráficos para representar números.

Porém, antes de chegarmos nesse grau de evolução (da escrita), vamos estudar sobre um instrumento desenvolvido na China antiga – o ábaco.

O ábaco chinês é composto por três ripas de madeira dispostas em paralelo, unidas por cilindros de metal ou madeira, espaçados e paralelos, por onde deslizam esferas, chamadas de contas.



Digamos que, no ábaco ocidental queiramos fazer 10 + 12. Inicialmente colocamos dez unidades na coluna das unidades. Mas, lembrando nossos antepassados, é mais inteligente utilizar a posição das dezenas, já que 10 = 1 x 10, isto é, uma dezena.


Agora, vamos colocar 12 unidades na coluna das unidades.



passou pelo processo de sedentarização, surgiu a idéia de criar animais para o consumo. Uma das primeiras dificuldades foi saber quantos animais uma família ou aldeia possuía.

A solução era relacionar de forma biunívoca animais e pedrinhas, isto é, para duas cabras, colecionavam-se duas pedrinhas.

Com um tempo, o homem começou a contar outros objetos, cujas quantidades tornavam-se inviáveis de representar biunivocamente com pedrinhas. Assim, agrupar quantidades iguais e representá-las com outros objetos foi a saída.

Por exemplo, os egípcios costumavam formar grupos de cinco pedrinhas e substituir estas cinco por um graveto. Dessa forma, 2 gravetos e 3 pedrinhas correspondiam ao 13.

Povos diferentes, formavam esses grupos de maneiras diferentes – o que chamamos na matemática de bases numéricas.

Na idade antiga, a escrita facilitou muito o processo de representação de quantidades. O ser humano pela primeira vez utilizou símbolos gráficos para representar números.

Porém, antes de chegarmos nesse grau de evolução (da escrita), vamos estudar sobre um instrumento desenvolvido na China antiga – o ábaco.

O ábaco chinês é composto por três ripas de madeira dispostas em paralelo, unidas por cilindros de metal ou madeira, espaçados e paralelos, por onde deslizam esferas, chamadas de contas.

Cada conta corresponde a uma unidade na coluna inferior direita; cinco unidades na coluna superior direita; uma dezena na segunda coluna inferior; cinco dezenas na segunda coluna superior e assim sucessivamente.

Em uma versão simplificada – a que usamos no ocidente, o ábaco é composto por uma base de madeira, colunas (cilindros) de metal ou madeira perpendiculares à base e esferas ou roscas para as contas.

O valor posicional, assim como no ábaco chinês, é dado da direita para esquerda. Se utilizarmos a base decimal, a primeira coluna é a das unidades; a segunda, das dezenas; a terceira, das centenas e assim sucessivamente.

Digamos que, no ábaco ocidental queiramos fazer 10 + 12. Inicialmente colocamos dez unidades na coluna das unidades. Mas, lembrando nossos antepassados, é mais inteligente utilizar a posição das dezenas, já que 10 = 1 x 10, isto é, uma dezena.

Agora, vamos colocar 12 unidades na coluna das unidades.

Essas 12 unidades podem ser escritas e representadas como 1 x 10 + 2, isto é, uma dezena mais duas unidades. Assim, retiramos dez unidades, que “passam” para a coluna das dezenas como uma dezena. Esse é o famoso “vai um” do algoritmo da adição. Na realidade não “vai um”, o que vai é uma dezena a ser somada às dezenas.

Dessa forma ficamos com a disposição final:



Que corresponde a expressão numérica 2 x 10 + 2 que é igual a 22. Veja 22 que são duas dezenas mais duas unidades (20 + 2 = 22). Tal raciocínio é a base para o algoritmo da operação da soma com números naturais na base decimal.
É bom lembrarmos que 10 unidades são 1 dezena:





Que 10 dezenas são 1 centena:






Que 10 centenas são 1 milhar:





assim por diante.
Uma vez compreendida essa ação de substituir, na base decimal, dez vezes a unidade anterior em uma unidade posterior (exemplo 10 centenas em 1 milhar), e assimilado esse conceito, estaremos aptos a afirmar que sabemos somar números naturais na base dez.

Algo que pode facilitar a leitura do número expresso no ábaco (se estivermos trabalhando com base decimal) é termos estampados, na base, os nomes das posições (unidades, dezenas, centenas, etc).


sexta-feira, 4 de dezembro de 2009

Lenda do Jogo de Xadrez


O semblante do rei da índia mostrava espanto e admiração com os olhos fixos no tabuleiro, ele procurava compreender os movimentos das peças: reis rainhas, bispos cavalos, torres, peões. Que engenhosa invenção!

Ficou ainda mais satisfeito quando lhe contaram que o criador do jogo era um súdito de seu reino: Sessa, professor de Matemática e Ciência. Que o trouxessem imediatamente a sua presença!

Sessa era um verdadeiro sábio, calmo e digno, que enfrentara o soberano com os olhos fracos e ar sereno.

Com nenhum de seus súditos o rei havia sido tão benevolente. Fez perguntas sobre o jogo, falou do apreço que tinha pela ciência, do respeito que dedicava aos que cultivavam o saber. No final da conversa, fez o generoso oferecimento:

_ Sessa, quero recompensá-lo por sua invenção. Peça o que desejar, nada lhe será negado.

O soberano admirava as pessoas prudentes e agradou-lhe ver que sessa não queria desperdiçar a grande oportunidade de sua vida.

No dia seguinte, o sábio dirigiu-se ao rei e solenemente fez seu pedido:

_ Quero um grão de trigo pela primeira casa do tabuleiro, dois pela segunda, quatro pela terceira, oito pela quarta e assim sucessivamente, até a última casa do tabuleiro.

O rei permaneceu calado algum tempo.Que decepção! Oferecera tanto e obtivera como resposta um pedido tão pequeno. Como podia aquele súdito ser assim mesquinho, desdenhar de tal forma sua generosidade?

Com um simples gesto de Mao despediu-se de Sessa, dizendo-lhe que os matemáticos do reino calculariam o total de grãos e ele receberia imediatamente a recompensa.


Um rápido brilho passou pelos olhos de Sessa, mas o rei não soube interpretá-lo.

Algumas horas depois, perguntou a seu ministro se o trigo havia sido entregue a Sessa. Um pouco constrangido, o funcionário respondeu que não, que os matemáticos ainda estavam fazendo as contas.

O rei franziu a testa com desagrado. Não admitia que suas ordens demorassem tanto a serem cumpridas. Que os cálculos fossem acelerados!

Na manha seguinte, os matemáticos foram falar com o rei, logo percebeu que havia alguma coisa errada. Mas nunca poderia adivinhar o que lhe disse o mais brilhante matemático do reino:

_ Majestade, Sessa nunca poderá receber sua recompensa! A quantidade de grão é tão grande que nem em todo o os celeiros do mundo existe tanto trigo. Seria necessário secar os rios, lagos, mares e oceanos, fundir gelo e a neve do norte, cobrir de cearas toda a superfície da terra e entregar-lhe cada grão colhido!

Nesse momento o rei lembrou-se da expressão que vira no rosto de Sessa. Que grande astucioso!Enganara a todos, fingindo-se modesto.

Não era possível atender ao pedido de Sessa como havia sido feito, mas era preciso premiar a notável inteligência de Sessa. Que ele recebesse uma quantia tão grande de moedas que pudesse ter uma vida tranqüila e continuasse ter uma vida tranqüila e continuasse a inventar jogos como aquele.
Oscar Guelli, Contando a Historia da Matematica- Historia de Potencia e Raizes, 2003

quinta-feira, 3 de dezembro de 2009

Inimigos e Amigos?



Muito usada no processo de tentar mostrar aos alunos como é que funciona o jogo de sinais no ensino da multiplicação e divisão dos numero inteiros, foi criado como um jogo de palavras que representam números negativos e positivos, normalmente o numero um que mais tarde pode ser substituído por qualquer outro numero: Na sala de Aula o professor chega e pergunta pra turma:

- Crianças, o Amigo do meu Amigo é o que pra mim?

- Seu Amigo, professor!

- Então o Inimigo do meu Amigo é o que pra mim?

- Seu Inimigo!

- Então o Amigo do meu Inimigo é?

- Seu Inimigo!

- E, o Inimigo do meu Inimigo?

- (...)

O silencio imperou, alguns olharam meio estranho para ele mais não sabiam o que responder. Amigo ou Inimigo?

Até que um aluno fala:

- Já que ele é Inimigo de quem o senhor não gosta então ele é seu Amigo professor.

- Muito bem, então ele é meu Amigo! – ele continua – Isso gente é que acontece no jogo de sinais da multiplicação se trocar a palavra “Amigo” pelo numero +1 e “Inimigo” pelo -1, por exemplo, e multiplicar a relação que fizemos temos: o Amigo do meu Amigo é meu Amigo

+1 vezes +1 = +1

o Inimigo do meu Amigo é meu Inimigo

-1 vezes +1 = -1

o Amigo do meu Inimigo é meu Inimigo

+1 vezes -1 = -1

o Inimigo do meu Inimigo é meu Amigo

-1 vezes -1 = +1

O Caso do Zero

O professor chega à sala de aula e pergunta:

- Se 2² é quatro e 2¹ é dois. Quanto é 20?

Então deu para perceber que a sala entrou em colapso, alguns alunos diziam dois outros diziam zero, mas não entrevasse em um consenso e formou-se então dois partidos - o do zero e o do dois. Para acabar com a discussão, o professor deu a sentença:

- É UM. Dois elevado a zero é um.

No inicio os alunos nem ouviram direito a explicação: que coisa mais sem sentido, que loucura era essa?

Ao poucos foram se acalmando, e o professor pôde justificar o resultado. Na verdade, é bem simples.

Quando escrevemos, por exemplo, 2³, o expoente indica que devemos multiplicar o numero 2 três vezes. A potencia 20, no entanto, nos coloca numa seria dificuldade. Não podemos Multiplicar o fator 2 zero vezes.

Durante muito tempo os matemáticos afirmaram que a potencia 20 não existia. Mas uma propriedade da potencia mostrou que havia uma possibilidade de interpretar o zero:

Para dividir duas potencias que têm a mesma base, mantemos a base e subtraímos os expoentes.

2³/ 2³ = 2 ³-³ = 2º
Mas:
2³/ 2³ = 8/8 = 1

Logo:

2º = 1.

Multiplicação por 9


Responda rápido: quanto é 4 vezes 9? A foto ao lado ilustra a maneira de achar imediatamente a resposta para esta multiplicação e – o que é mais impressionanate – todos os outros números de 1 a 10 multiplicados por nove.

Como todas as grandes sacadas da história do conhecimento humano, essa é muito simples. Com seus 10 dedos esticados diante de si, basta dobrar o dedo que corresponde ao número que você quer multiplicar por 9. O resultado aparece como mágica diante dos seus olhos. Os números à esquerda do dedo dobrado são a dezena, os da direita correspondem à unidade! No nosso exemplo, dobramos o terceiro dedo, e observamos que restam dois dedos abertos à esquerda, e 6 à direita. Do que depreendemos quase imediatamente que 4 vezes 9 é 36! Faça o teste você mesmo com qualquer número de 1 a 10 e comprove!




Aqui, 9 x 8 Contando os dedos da esquerda para a direita, o oitavo dedo será o dedo médio da mão direita.




O resultado será 72 (7 dedos do lado esquerdo, 2 do lado direito).

Você sabia que na China...

                                                      
Assim como praticavam os processos básicos de aritmética e estudavam quadrados, cubos e raízes, os chineses ficavam intrigados com as relações dos números em si. Nisso seguiam o padrão de muitas civilizações primitivas. Em um estágio muito antigo da história chinesa, os números ímpares eram julgados aziagos e os pares, afortunados. Estudaram-se padrões de pontos, como o foram na Grécia por Pitágoras e seus seguidores, para deduzir seqüências numéricas, e os chineses descobriram algumas relações desconhecidas dos gregos. Por exemplo, sabiam que a soma da seqüência de números ímpares é sempre um quadrado.


Os chineses também mostravam interesse pela "análise combinatória", o que revela sua curiosidade pelos "quadrados mágicos" - quadrados formados por compartimentos preenchidos com números cuja soma dá sempre o mesmo total, quer se tomem os números no sentido vertical, horizontal ou diagonal. O quadrado mágico poderia tornar-se elaborado - até se imaginaram quadrados tridimensionais - mas, em sua forma mais simples, parece ter origem pelo menos no ano 100 a.C., ou ainda mais cedo, embora esse assunto não se tenha desenvolvido senão 1 400 anos depois.


Os chineses sempre foram peritos em encontrar auxílios para o cálculo. Como outras civilizações primitivas, contavam nos dedos e empregavam a mais complicada técnica de destinar números para as juntas dos dedos, tanto quanto para os dedos propriamente ditos. Usavam também um barbante com nós, semelhante ao quipú peruano, embora esse método fosse empregado mais para registros do que realmente para executar cálculos. Mas seu mais eficiente artifício de cálculo primitivo era a vara de contar. Parece ter sido usada desde cedo e era ideal para o cálculo semimecânica; há muitas lendas acerca do uso desse instrumento, como a que envolve o astrônomo do século XI, Wei Po, que, dizem, movia as varas tão rapidamente que elas pareciam estar voando. Mas, depois do período Ming, pouco se ouviu a respeito das varetas, pois elas cederam lugar ao ábaco, um instrumento bem mais eficiente.

O ábaco chinês é chamado tanto de suan pan (placa de cálculo) como chu suan pan (placa de bola); prancheta retangular provida de bolas introduzidas em arames, o ábaco é provavelmente conhecido da maioria dos leitores. A primeira referência a esse instrumento não apareceu antes do ano 1593 d.C.; por isso algumas vezes se pensou que fosse desconhecido na China até o século XVI. Contudo, alguns textos tornam claro que a referência de 1593 é tardia: admite-se que não se trata realmente do ábaco, mas de uma "aritmética de bola", tipo de cálculo executado em madeira escavada, provida de arames e bolas. Essa descrição aparece num livro datado do século VI d.C, e sua fonte de informação remonta ao final do século II d.C. Uma vez que há outras referências a descrições semelhantes, parece que o ábaco já era conhecido no século VI e possivelmente no século II d.C. Em outras civilizações primitivas, o "mecanismo" é formada por pedras que se deslocam dentro de ranhuras. O método das pedras pode muito bem ser originário da Índia, no século III ou IV d.C., como um aperfeiçoamento das antigas bandejas de areia ou pó empregadas no Mediterrâneo para realizar cálculos. Estas foram bem conhecidas dos gregos, dos egípcios e até mesma dos babilônios.

quarta-feira, 2 de dezembro de 2009

Matemática Humana



Somar é a primeira operação matemática que se aprende, a que temos mais facilidade e que gostamos mais.


Primeiro agente gosta de somar várias vezes palitos e giz, depois brinquedos e roupas da moda, depois somar dinheiro, depois somar carros e casas, e sempre somar alegria e felicidade.

Isto já é multiplicação, que também é fácil de aprender, é só somar várias vezes a mesma coisa.

A Segunda operação que aprendemos é a subtração.

Aí começa a ficar estranho.

Principalmente quando tem que pedir emprestado na casa do vizinho, digo, casa decimal ao lado. Ninguém gosta mais de diminuir do que somar.

Quando chega na divisão é quase um desespero, ainda mais quando sobra um resto.

É que ninguém entende aonde ou pra quem vai ficar o resto.

Até no cotidiano ninguém gosta de dividir nada.

A dificuldade no aprendizado não parece à toa, o homem rejeita essa prática.

Quando o homem aprender a dividir corretamente e saber onde deve ficar o resto, entenderá que é o mesmo que somar para alguns, mantendo a quantidade de outros, sem necessariamente subtrair de alguém, ou seja, é o mesmo que somar igual para todos; entenderá também que somando os restos teremos mais um inteiro divisível, fazendo outros felizes.

O resultado final também é uma soma, a soma da felicidade geral.

Poderíamos até chamar esta operação de soma distribuída.

Com esta visão, com certeza a matemática daria mais resultados, talvez fosse dispensável aprender contas de dividir e os homens continuariam felizes a somar palitos, brinquedos, dinheiros, carros, casas e felicidade, porém não somente para si.

Quem sabe?

A Tabuada de Pitágoras

No meu tempo, quando estava a aprender multiplicação, era adotado como material didático a velha tabuada composta de pelo menos nove páginas. Uma para a tabuada do 1, outra para a do 2, e assim em diante. Cada página com 10 linhas, onde cada linha tinha a indicação do produto e seu resultado (2 x 1 = 2, …, 2 x 10 = 20). Se o seu objetivo é obter a tabuada de multiplicação de um número clique aqui.




Pitágoras, filósofo e matemático grego, século VI antes de Cristo (veja há quanto tempo!), inventou a tabela abaixo, na qual é possível efetuar todas as o

perações de multiplicação existentes na velha tabuada. E tudo em um único lugar.





Para se calcular, por meio desta tabela, o produto de dois números, 5 x 9 por exemplo, basta localizar o multiplicando (5) na primeira linha e o multiplicador (9) na primeira coluna. O resultado do produto está no encontro da linha com a coluna.


Observe que alguns conceitos adicionais podem ser explorados a partir daqui:


•O de uma composição tabular (matriz) – não estou dizendo que uma criança vá entendê-lo em toda a sua plenitude;

•Mostrar que em uma multiplicação a ordem dos fatores não altera o resultado, fazendo a operação 9 x 5 diretamente na tabela;

•Obter resultados de divisões exatas, claro dentro deste universo. Por exemplo: 36:9.


A tabuada de Pitágoras, é óbvio, deve ser utilizada dentro dos mesmos princípios didáticos e curriculares da tabuada tradicional, ou seja, após as devidas explicações do que seja uma multiplicação e uma divisão. No entanto, acredito que o uso da tabuada de Pitagóras tornaria, pelo menos, o aprendizado mais divertido.

A composição da tabela é bem simples: na coluna um encontram-se “os resultados da tabuada do 1″, na dois “os resultados da tabuada do 2″, e assim por diante